«

»

โจทย์ลำดับอนุกรม 57-2-5

กำหนดให้ \{ {a_n}\}  เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ {a_n} = \frac{1}{{4 + 8 + 12 + ... + 4n}} สำหรับn = 1,2,3,... ผลบวกของอนุกรม {a_1} + {a_2} + {a_3} + ...  เท่ากับเท่าใด

 

วิธีทำ

จาก

4 + 8 + 12 + ... + 4n = 4(1 + 2 + 3 + ... + n)

จะได้

4 + 8 + 12 + ... + 4n = 4\frac{{n(n + 1)}}{2}

4 + 8 + 12 + ... + 4n = 2n(n + 1)

 

{a_n} = \frac{1}{{4 + 8 + 12 + ... + 4n}}

 

{a_n} = \frac{1}{{2n(n + 1)}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)

 

{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + ...

 

 = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{2}} \right. + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...

 

 = \frac{1}{2}

แสดงความคิดเห็น